№2 - Может ли быть нечто истинным без доказуемости этой истинности?
Уже писал пост на эту тему:
===
https://man-with-dogs.livejournal.com/2930412.html
2021-05-28 02:12 - Может ли быть нечто истинным без доказуемости этой истинности?
===
Там я критиковал неумелого самодетеятельного блогера, который тоже что-то такое говорил на эту тему, но очень невнятно. Я туда сделал добавку - где об этом говорит некий Шень в гостях у Савватеева - он объясняет 2 теоремы Гёделя - о полноте и неполноте. Эту добавку я вставлю и в этот пост в самый низ. про истинность без доказуемости - это как раз теорема Гёделя о неполноте.
И тут возникает вопрос о корректности определений.
Уровень 1 - "как есть" - все утверждения либо истинные, либо ложные, других вариантов не бывает
Тогда по теореме о неполноте получается, что существуют утверждения истинные, которые нельзя доказать.
Уровень 2 - "в рамках заданных аксиом", есть доказуемые и недоказуемые утверждения, про доказуемые можно утверждать, что они истинные или ложные, про недоказуемые этого из заданных аксиом утверждать нельзя. При желании для них можно ввести 3 логическое значение - "неизвестно".
Уровень 3 - "в рамках заданных аксиом при существующем уровне науки" - когда какие-то утверждения, не доказаны, что недоказуемы, но науке неизвестно их доказательство. Про этот уровень важно помнить, чтоб не перепутать его с уровнем 2 - с тем, что определяют только аксиомы, а не уровень науки.
Так вот.
Есть аксиомы Пеано, задающие натуральный ряд и арифметику:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиомы_Пеано
Есть несколько утверждений, которые невыводимы из этих аксиом:
===
"О неполноте
Как следует из теоремы Гёделя о неполноте, существуют утверждения о натуральных числах, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом Пеано. Некоторые такие утверждения имеют достаточно простую формулировку, например теорема Гудстейна или теорема Париса–Харрингтона."
===
https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Гудстейна
теорема Гудстейна недоказуема в аксиоматике Пеано (но может быть доказана, например, в арифметике второго порядка).
===
https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Париса_—_Харрингтона
В своей статье Парис и Харрингтон показали, что из этой теоремы вытекает непротиворечивость аксиоматики Пеано; однако, как показал Гёдель, арифметика Пеано не в состоянии доказать свою собственную непротиворечивость, поэтому теорема Париса-Харрингтона в ней недоказуема. С другой стороны, используя логику второго порядка или аксиоматику теории множеств ZF, несложно доказать, что усиленная теорема Рамсея истинна[2].
Другие примеры недоказуемых теорем арифметики
Теорема Гудстейна
Теорема Канамори–Макалуна[en]
Теорема о дереве Краскала[en]
===
В чём там проблема - с этими утверждениями? Они - самореференсные. Аналогично, как в парадоксе лжеца. И для их разрешения приходится менять аксиомы - повышать их порядок. Т.е. получается не та же самая аксиоматика, а другая, в которой ранее недоказуемое утверждение оказывается либо доказано, либо опровергнуто.
===
https://ru.abcdef.wiki/wiki/Second-order_arithmetic
Арифметика второго порядка - Second-order arithmetic
В математической логике , арифметика второго порядка представляет собой совокупность аксиоматических систем , которые формализуют натуральные числа и их подмножества. Это альтернатива аксиоматической теории множеств в качестве основы для большей части, но не для всей математики.
...
Поскольку действительные числа могут быть представлены как ( бесконечные ) наборы натуральных чисел хорошо известными способами, и поскольку арифметика второго порядка допускает количественное определение таких наборов, можно формализовать действительные числа в арифметике второго порядка. По этой причине арифметику второго порядка иногда называют «анализом»* (Sieg 2013, p. 291).
*) мат.анализом
...
арифметика второго порядка может доказать практически все результаты классической математики, выражаемые на ее языке.
===
Но тут вопрос - а насколько это корректно - говорить об истинности или ложности утверждения в одной аксиоматике, используя доказательство в другой аксиоматике? Ведь получаемые из разных наборов аксиом миры - РАЗНЫЕ. Даже если можно при такой замене доказать все те же утверждения, что и в исходной аксиоматике, то почему я должен считать, что истинность/ложность утверждений после изменений можно передавать в систему до изменений аксиом?
В общем - всё упирается в определение.
1) Либо есть только истинные и ложные утверждения, и они делятся на доказуемые (часть из них уже доказанные) и недоказуемые.
2) Либо есть доказуемые и недоказуемые утверждения, и истинность и ложность утверждений определяется только для доказуемых утверждений.
Я сторонник определения 2. Потому как пока не понимаю, как можно говорить об истинности или ложности утверждения, недоказуемого в рамках выбранных аксиом. А подмена аксиом другими - на мой взгляд, меняет весь мир, ими задаваемый.
Возможно тут можно придумать варианты - когда такая подмена аксиом другими будет давать 2 и более варианта миров, в которых доказаны те же самые утверждения, что и в исходном мире, но противоречивые друг другу в части недоказуемых для исходного мира утверждений.
Исходным будет уровень 1 - когда утверждения истинные/ложные вне зависимости от доказуемости. После - доказывается недоказуемость, и результатом такого доказательства будет статус "неопределено", для истинности такого утверждения в рамках определённых аксиом. В других аксиомах будет другой мир и другие значения истинности утверждений.
(Аналогия: аксиомы геометрии без аксиомы о параллельных прямых могут дополняться разными аксиомами о параллельных прямых и оплучаться 3 разных мира: евклидова геометрия, лобачевского и римана. Может ли быть такое для дополнения с учётом самореференсности?)
Получается, что уровень 1 - исходный, так зачем городить уровень 2? Может и не надо делать уровень 2 как определение, а делать его как "использование терминологии". Чтоб не получалось, что кто-то с уверенностью говорит об истинности утверждений, которые в данном наборе аксиом не доказуемы. И использует при этом доказательство из другого набора аксиом.
Обещанное объяснение теорем Гёделя о полноте и неполноте:
https://www.youtube.com/watch?v=yDcexY6rEz8
1:23:35
Теорема Гёделя о (не)полноте
Маткульт-привет! :: Алексей Савватеев и Ко, 10 тыщ просмотров, 9 авг. 2021 - 165 тыс. подписчиков
00:00:00 Введение
00:02:56 Теорема о неполноте
00:47:52 Теорема о полноте
«Теорема Гёделя о неполноте» В.А.Успенского https://math.ru/lib/plm/57
===
https://man-with-dogs.livejournal.com/2930412.html
2021-05-28 02:12 - Может ли быть нечто истинным без доказуемости этой истинности?
===
Там я критиковал неумелого самодетеятельного блогера, который тоже что-то такое говорил на эту тему, но очень невнятно. Я туда сделал добавку - где об этом говорит некий Шень в гостях у Савватеева - он объясняет 2 теоремы Гёделя - о полноте и неполноте. Эту добавку я вставлю и в этот пост в самый низ. про истинность без доказуемости - это как раз теорема Гёделя о неполноте.
И тут возникает вопрос о корректности определений.
Уровень 1 - "как есть" - все утверждения либо истинные, либо ложные, других вариантов не бывает
Тогда по теореме о неполноте получается, что существуют утверждения истинные, которые нельзя доказать.
Уровень 2 - "в рамках заданных аксиом", есть доказуемые и недоказуемые утверждения, про доказуемые можно утверждать, что они истинные или ложные, про недоказуемые этого из заданных аксиом утверждать нельзя. При желании для них можно ввести 3 логическое значение - "неизвестно".
Уровень 3 - "в рамках заданных аксиом при существующем уровне науки" - когда какие-то утверждения, не доказаны, что недоказуемы, но науке неизвестно их доказательство. Про этот уровень важно помнить, чтоб не перепутать его с уровнем 2 - с тем, что определяют только аксиомы, а не уровень науки.
Так вот.
Есть аксиомы Пеано, задающие натуральный ряд и арифметику:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Аксиомы_Пеано
Есть несколько утверждений, которые невыводимы из этих аксиом:
===
"О неполноте
Как следует из теоремы Гёделя о неполноте, существуют утверждения о натуральных числах, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом Пеано. Некоторые такие утверждения имеют достаточно простую формулировку, например теорема Гудстейна или теорема Париса–Харрингтона."
===
https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Гудстейна
теорема Гудстейна недоказуема в аксиоматике Пеано (но может быть доказана, например, в арифметике второго порядка).
===
https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Париса_—_Харрингтона
В своей статье Парис и Харрингтон показали, что из этой теоремы вытекает непротиворечивость аксиоматики Пеано; однако, как показал Гёдель, арифметика Пеано не в состоянии доказать свою собственную непротиворечивость, поэтому теорема Париса-Харрингтона в ней недоказуема. С другой стороны, используя логику второго порядка или аксиоматику теории множеств ZF, несложно доказать, что усиленная теорема Рамсея истинна[2].
Другие примеры недоказуемых теорем арифметики
Теорема Гудстейна
Теорема Канамори–Макалуна[en]
Теорема о дереве Краскала[en]
===
В чём там проблема - с этими утверждениями? Они - самореференсные. Аналогично, как в парадоксе лжеца. И для их разрешения приходится менять аксиомы - повышать их порядок. Т.е. получается не та же самая аксиоматика, а другая, в которой ранее недоказуемое утверждение оказывается либо доказано, либо опровергнуто.
===
https://ru.abcdef.wiki/wiki/Second-order_arithmetic
Арифметика второго порядка - Second-order arithmetic
В математической логике , арифметика второго порядка представляет собой совокупность аксиоматических систем , которые формализуют натуральные числа и их подмножества. Это альтернатива аксиоматической теории множеств в качестве основы для большей части, но не для всей математики.
...
Поскольку действительные числа могут быть представлены как ( бесконечные ) наборы натуральных чисел хорошо известными способами, и поскольку арифметика второго порядка допускает количественное определение таких наборов, можно формализовать действительные числа в арифметике второго порядка. По этой причине арифметику второго порядка иногда называют «анализом»* (Sieg 2013, p. 291).
*) мат.анализом
...
арифметика второго порядка может доказать практически все результаты классической математики, выражаемые на ее языке.
===
Но тут вопрос - а насколько это корректно - говорить об истинности или ложности утверждения в одной аксиоматике, используя доказательство в другой аксиоматике? Ведь получаемые из разных наборов аксиом миры - РАЗНЫЕ. Даже если можно при такой замене доказать все те же утверждения, что и в исходной аксиоматике, то почему я должен считать, что истинность/ложность утверждений после изменений можно передавать в систему до изменений аксиом?
В общем - всё упирается в определение.
1) Либо есть только истинные и ложные утверждения, и они делятся на доказуемые (часть из них уже доказанные) и недоказуемые.
2) Либо есть доказуемые и недоказуемые утверждения, и истинность и ложность утверждений определяется только для доказуемых утверждений.
Я сторонник определения 2. Потому как пока не понимаю, как можно говорить об истинности или ложности утверждения, недоказуемого в рамках выбранных аксиом. А подмена аксиом другими - на мой взгляд, меняет весь мир, ими задаваемый.
Возможно тут можно придумать варианты - когда такая подмена аксиом другими будет давать 2 и более варианта миров, в которых доказаны те же самые утверждения, что и в исходном мире, но противоречивые друг другу в части недоказуемых для исходного мира утверждений.
Исходным будет уровень 1 - когда утверждения истинные/ложные вне зависимости от доказуемости. После - доказывается недоказуемость, и результатом такого доказательства будет статус "неопределено", для истинности такого утверждения в рамках определённых аксиом. В других аксиомах будет другой мир и другие значения истинности утверждений.
(Аналогия: аксиомы геометрии без аксиомы о параллельных прямых могут дополняться разными аксиомами о параллельных прямых и оплучаться 3 разных мира: евклидова геометрия, лобачевского и римана. Может ли быть такое для дополнения с учётом самореференсности?)
Получается, что уровень 1 - исходный, так зачем городить уровень 2? Может и не надо делать уровень 2 как определение, а делать его как "использование терминологии". Чтоб не получалось, что кто-то с уверенностью говорит об истинности утверждений, которые в данном наборе аксиом не доказуемы. И использует при этом доказательство из другого набора аксиом.
Обещанное объяснение теорем Гёделя о полноте и неполноте:
https://www.youtube.com/watch?v=yDcexY6rEz8
1:23:35
Теорема Гёделя о (не)полноте
Маткульт-привет! :: Алексей Савватеев и Ко, 10 тыщ просмотров, 9 авг. 2021 - 165 тыс. подписчиков
00:00:00 Введение
00:02:56 Теорема о неполноте
00:47:52 Теорема о полноте
«Теорема Гёделя о неполноте» В.А.Успенского https://math.ru/lib/plm/57